Recursos 4º

AcTRIvidad 3. Los números de Kaprekar

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Si queréis saber qué son y cómo proponemos gestionar estas tareas, podéis consultar este enlace.

Contenidos más relevantes: Numeración y cálculo, números, sumas, Relaciones y cambio

I. Planteemos y empecemos a pensar

¿Cuáles son los números de Kaprekar de dos cifras?

Pretendemos que el alumnado comprenda cómo se comprueba si un número es de Kaprekar (a partir del ejemplo del 55) para, más allá de conocer este tipo de números, animarlos a hacer multiplicaciones y sumas. Una de las riquezas de esta tarea, como todas las de práctica productiva, es que se adapta a cada alumno o alumna: si este razona y busca patrones, se ahorrará hacer muchas operaciones; si no lo hace, y ataca la tarea por la fuerza, la misma naturaleza del enunciado provoca que el alumno o alumna tenga que hacer muchas multiplicaciones y sumas.

En cuanto a las dos pistas, aunque cada una hace referencia a un número de Kaprekar de dos cifras diferente, esto no se explicita:

  • Al igual que el 55, uno de los otros también es capicúa.
  • Y, también al igual que el 55, uno de los otros termina en 5.

Por lo tanto, el alumnado debe razonar e investigar para averiguar si las dos pistas hacen referencia al mismo o no.

II. Comprobemos y sigamos pensando

¿Podéis encontrar los tres números de Kaprekar de tres cifras propuestos?

Pretendemos que el alumnado que lo necesite utilice las dos nuevas pistas en busca de los otros dos números de Kaprekar de dos cifras (aparte del 55) y, después, que todos comprueben la solución:

  • Uno es el 45: 45 × 45 = 2 025 → 20 + 25 = 45
  • El otro es el 99: 99 × 99 = 9 801 → 98 + 01 = 99

A partir de aquí, pretendemos que el alumnado se enfrente a la nueva tarea de encontrar números de Kaprekar de tres cifras, y que comprenda la adaptación correspondiente al modo de comprobarlo: en el caso de tres cifras, hay que separar el resultado de la suma en dos partes de tres cifras cada una. Esta vez, sin embargo, la tarea está acotada a encontrar:

  • Un número de Kaprekar entre 290 y 300.
  • Un número de Kaprekar entre 700 y 710.
  • Y un número de Kaprekar que tenga las tres cifras iguales.

III. ¡Reflexionemos y vayamos más allá!

Pretendemos que el alumnado compruebe que han encontrado los tres números de Kaprekar propuestos:

  • 297 → 297 × 297 = 88 209 → 88 + 209 = 297 
  • 703 → 703 × 703 = 494 209 → 494 + 209 = 703
  • 999 → 999 × 999 = 998 001 → 998 + 001 = 999 

Y, por último, esperamos que razonen sobre el patrón que empieza a observarse: Si 99 y el 999 son números de Kaprekar, ¿lo serán también el 9 o el 9 999? 

Por otro lado, podemos plantear nuevas preguntas para ir más allá:

  • ¿Y si, en vez de multiplicar un número por sí mismo dos veces, lo hacemos tres veces? (Https://oeis.org/A006887)
    • De una cifra, más allá del 1, solo está el 8: 8 × 8 × 8 = 512 → 5 + 1 + 2 = 8.
    • De dos cifras, solo está 45: 45 × 45 × 45 = 91 125 → 9 + 11 + 25 = 45.
  • ¿Y si, en vez de multiplicar un número por sí mismo tres veces, lo hacemos cuatro veces? (https://oeis.org/A171493)
    • De una cifra, más allá del 1, solo está el 7: 7 × 7 × 7 × 7 = 2 401 → 2 + 4 + 0 + 1 = 7.
    • De dos cifras hay tres casos:

El 45: 45 × 45 × 45 × 45 = 4 100 625 → 4 + 10 + 06 + 25 = 45.

El 55: 55 × 55 × 55 × 55 = 9 150 625 → 9 + 15 + 06 + 25 = 55.

El 67: 67 × 67 × 67 × 67 = 20 151 121 → 20 + 15 + 11 + 21 = 67.

 

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